Urodził się 15 stycznia 1914 r. w Brodnicy nad Drwęcą (diecezja toruńska, wówczas hełmińska). Był synem Władysława i Rozalii z domu Fijałkowskiej. Przebywał w Wyższym Seminarium Duchownym w Warszawie podczas II wojny światowej. Święcenia kapłańskie otrzymał 27 kwietnia 1941 r. z rąk abp. Stanisława Galla. Był wikariuszem w parafiach: Żbików, św. Jakuba Ap. w Skierniewicach, kapelanem Sióstr Sług Jezusa i prefektem szkół w Otwocku (w międzyczasie w 1946 r. podjął studia specjalistyczne z pedagogiki na Uniwersytecie Warszawskim) i wikariuszem parafii św. Wincentego à Paulo w Otwocku. W 1961 r. władza duchowna zamierzała mianować ks. Krajewskiego proboszczem parafii Celestynów, czemu dwukrotnie sprzeciwiła się Wojewódzka Rada Narodowa w Warszawie „pomijając uzasadnienie decyzji ze względu na porządek publiczny”. W następnym roku Wydział ds. Wyznań nie zgłaszał już zastrzeżeń odnośnie mianowania ks. Franciszka proboszczem parafii Dębe Wielkie, gdzie pracował sam (bez wikariusza) ponad 20 lat. W roku 1973 został mianowany wicedziekanem dekanatu mińskiego. Od roku 1985 aż do śmierci ks. Krajewski był rezydentem przy parafii Najczystszego Serca Maryi w Warszawie-Grochowie. W roku 1999 Biskup Ordynariusz odznaczył go przywilejem rokiety i mantoletu.